Exploration der exponentiell gewichteten Moving Average Volatilität ist die häufigste Maßnahme für das Risiko, aber es kommt in mehreren Geschmacksrichtungen. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie man einfache historische Volatilität berechnet. (Um diesen Artikel zu lesen, finden Sie unter Verwenden von Volatilität, um zukünftiges Risiko zu messen.) Wir verwendeten Googles tatsächlichen Aktienkursdaten, um die tägliche Volatilität basierend auf 30 Tagen der Bestandsdaten zu berechnen. In diesem Artikel werden wir auf einfache Volatilität zu verbessern und diskutieren den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA). Historische Vs. Implied Volatility Erstens, lassen Sie diese Metrik in ein bisschen Perspektive. Es gibt zwei breite Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass Vergangenheit ist Prolog Wir messen Geschichte in der Hoffnung, dass es prädiktive ist. Die implizite Volatilität dagegen ignoriert die Geschichte, die sie für die Volatilität der Marktpreise löst. Es hofft, dass der Markt am besten weiß und dass der Marktpreis, auch wenn implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält. (Für verwandte Erkenntnisse siehe Die Verwendungen und Grenzen der Volatilität.) Wenn wir uns auf die drei historischen Ansätze (auf der linken Seite) konzentrieren, haben sie zwei Schritte gemeinsam: Berechnen Sie die Reihe der periodischen Renditen Anwendung eines Gewichtungsschemas Zuerst werden wir Berechnen die periodische Rendite. Das ist typischerweise eine Reihe von täglichen Renditen, bei denen jede Rendite in kontinuierlich zusammengesetzten Ausdrücken ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (d. H. Preis heute geteilt durch den Preis gestern und so weiter). Dies erzeugt eine Reihe von täglichen Renditen, von u i bis u i-m. Je nachdem wie viele Tage (m Tage) wir messen. Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. Wir haben gezeigt, dass die einfache Varianz im Rahmen einiger akzeptabler Vereinfachungen der Mittelwert der quadratischen Renditen ist: Beachten Sie, dass diese Summe die periodischen Renditen zusammenfasst und dann diese Summe durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m). Also, seine wirklich nur ein Durchschnitt der quadrierten periodischen kehrt zurück. Setzen Sie einen anderen Weg, jede quadrierte Rückkehr wird ein gleiches Gewicht gegeben. Wenn also alpha (a) ein Gewichtungsfaktor (speziell eine 1 / m) ist, dann sieht eine einfache Varianz so aus: Die EWMA verbessert die einfache Varianz Die Schwäche dieses Ansatzes ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht verdienen. Yesterdays (sehr jüngste) Rückkehr hat keinen Einfluss mehr auf die Varianz als die letzten Monate zurück. Dieses Problem wird durch Verwendung des exponentiell gewichteten gleitenden Mittelwerts (EWMA), bei dem neuere Renditen ein größeres Gewicht auf die Varianz aufweisen, festgelegt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein. Die als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als 1 sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle der gleichen Gewichtungen jede quadratische Rendite durch einen Multiplikator wie folgt gewichtet: Beispielsweise neigt die RiskMetrics TM, eine Finanzrisikomanagementgesellschaft, dazu, eine Lambda von 0,94 oder 94 zu verwenden. In diesem Fall wird die erste ( (1 - 0,94) (94) 0 6. Die nächste quadrierte Rückkehr ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts in diesem Fall 6 multipliziert mit 94 5,64. Und das dritte vorherige Tagegewicht ist gleich (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Das ist die Bedeutung von exponentiell in EWMA: jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (d. h. Lambda, der kleiner als eins sein muß) des vorherigen Gewichtes. Dies stellt eine Varianz sicher, die gewichtet oder zu neueren Daten voreingenommen ist. (Weitere Informationen finden Sie im Excel-Arbeitsblatt für die Googles-Volatilität.) Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google wird unten angezeigt. Einfache Volatilität wiegt effektiv jede periodische Rendite von 0,196, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre tägliche Aktienkursdaten, das sind 509 tägliche Renditen und 1/509 0,196). Aber beachten Sie, dass die Spalte P ein Gewicht von 6, dann 5,64, dann 5,3 und so weiter. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA. Denken Sie daran: Nachdem wir die Summe der ganzen Reihe (in Spalte Q) haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir uns daran erinnern, die Quadratwurzel dieser Varianz zu nehmen. Was ist der Unterschied in der täglichen Volatilität zwischen der Varianz und der EWMA im Googles-Fall? Bedeutend: Die einfache Varianz gab uns eine tägliche Volatilität von 2,4, aber die EWMA gab eine tägliche Volatilität von nur 1,4 (Details siehe Tabelle). Offenbar ließ sich die Googles-Volatilität in jüngster Zeit verringern, so dass eine einfache Varianz künstlich hoch sein könnte. Die heutige Varianz ist eine Funktion der Pior Tage Variance Youll bemerken wir benötigt, um eine lange Reihe von exponentiell sinkenden Gewichte zu berechnen. Wir werden die Mathematik hier nicht durchführen, aber eine der besten Eigenschaften der EWMA ist, daß die gesamte Reihe zweckmäßigerweise auf eine rekursive Formel reduziert: Rekursiv bedeutet, daß heutige Varianzreferenzen (d. h. eine Funktion der früheren Tagesvarianz) ist. Sie können diese Formel auch in der Kalkulationstabelle zu finden, und es erzeugt genau das gleiche Ergebnis wie die Langzeitberechnung Es heißt: Die heutige Varianz (unter EWMA) ist gleichbedeutend mit der gestrigen Abweichung (gewichtet mit Lambda) plus der gestrigen Rückkehr (gewogen von einem Minus-Lambda). Beachten Sie, wie wir nur zwei Begriffe zusammenfügen: gestern gewichtet Varianz und gestern gewichtet, quadriert zurück. Dennoch ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höheres Lambda (z. B. wie RiskMetrics 94) deutet auf einen langsameren Abfall in der Reihe hin - in relativer Hinsicht werden wir mehr Datenpunkte in der Reihe haben, und sie fallen langsamer ab. Auf der anderen Seite, wenn wir das Lambda reduzieren, deuten wir auf einen höheren Abfall hin: die Gewichte fallen schneller ab, und als direkte Folge des schnellen Zerfalls werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Kalkulationstabelle ist Lambda ein Eingang, so dass Sie mit seiner Empfindlichkeit experimentieren können). Zusammenfassung Volatilität ist die momentane Standardabweichung einer Aktie und die häufigste Risikomessung. Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können Varianz historisch oder implizit messen (implizite Volatilität). Bei der historischen Messung ist die einfachste Methode eine einfache Varianz. Aber die Schwäche mit einfacher Varianz ist alle Renditen bekommen das gleiche Gewicht. So stehen wir vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto mehr wird unsere Berechnung durch weit entfernte (weniger relevante) Daten verdünnt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz durch Zuordnen von Gewichten zu den periodischen Renditen. Auf diese Weise können wir beide eine große Stichprobengröße, sondern auch mehr Gewicht auf neuere Renditen. (Um eine Film-Tutorial zu diesem Thema zu sehen, besuchen Sie die Bionic Turtle.) Die EWMA-Ansatz hat eine attraktive Funktion: es erfordert relativ wenig gespeicherte Daten. Um unsere Schätzung an jedem Punkt zu aktualisieren, benötigen wir nur eine vorherige Schätzung der Varianzrate und des jüngsten Beobachtungswertes. Ein weiteres Ziel der EWMA ist es, Veränderungen in der Volatilität nachzuvollziehen. Für kleine Werte beeinflussen jüngste Beobachtungen die Schätzung zeitnah. Für Werte, die näher an einem liegen, ändert sich die Schätzung langsam auf der Grundlage der jüngsten Änderungen in den Renditen der zugrundeliegenden Variablen. Die von JP Morgan erstellte und öffentlich zugängliche RiskMetrics-Datenbank nutzt die EWMA zur Aktualisierung der täglichen Volatilität. WICHTIG: Die EWMA-Formel geht nicht von einem lang anhaltenden durchschnittlichen Varianzniveau aus. So bedeutet das Konzept der Volatilität Reversion nicht von der EWMA erfasst. Die ARCH / GARCH Modelle sind dafür besser geeignet. Ein sekundäres Ziel der EWMA ist es, Veränderungen in der Volatilität nachzuvollziehen, so dass für kleine Werte die jüngsten Beobachtungen die Schätzung sofort beeinflussen, und für Werte, die näher bei 1 liegen, ändert sich die Schätzung langsam auf die jüngsten Änderungen in den Renditen der zugrunde liegenden Variablen. Die RiskMetrics-Datenbank (erstellt von JP Morgan), die 1994 veröffentlicht wurde, verwendet das EWMA-Modell zur Aktualisierung der täglichen Volatilitätsschätzung. Das Unternehmen festgestellt, dass über eine Reihe von Marktvariablen, gibt dieser Wert der Prognose der Varianz, die am nächsten zu realisierten Varianz Rate kommen. Die realisierten Varianzraten an einem bestimmten Tag wurden als gleichgewichteter Durchschnitt der folgenden 25 Tage berechnet. Um den optimalen Wert von lambda für unseren Datensatz zu berechnen, müssen wir die realisierte Volatilität an jedem Punkt berechnen. Es gibt mehrere Methoden, so wählen Sie ein. Als nächstes wird die Summe der quadratischen Fehler (SSE) zwischen der EWMA-Schätzung und der realisierten Volatilität berechnet. Schließlich minimieren die SSE durch Variieren des Lambdawertes. Klingt einfach Es ist. Die größte Herausforderung besteht darin, einen Algorithmus zur Berechnung der realisierten Volatilität zu vereinbaren. Zum Beispiel wählten die Leute bei RiskMetrics die folgenden 25 Tage, um die realisierte Varianzrate zu berechnen. In Ihrem Fall können Sie einen Algorithmus wählen, der Tägliche Volumen-, HI / LO - und / oder OPEN-CLOSE Preise nutzt. Q 1: Können wir EWMA verwenden, um die Volatilität mehr als einen Schritt voraus zu schätzen (oder prognostizieren) Die EWMA-Volatilitätsdarstellung setzt keine langfristige Durchschnittsvolatilität voraus, so dass die EWMA für jeden Prognosehorizont über einen Schritt hinaus eine Konstante zurückgibt Wertorientierte, exponentiell gewichtete Bewegungsdurchschnitte und Value-at-Risk-Prognosen Andre Lucas VU Universität Amsterdam - Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Tinbergen Institut Sveriges Riksbank - Forschungsabteilung Tinbergen Institute Diskussionspapier Nr. 14-092 / IV / DSF77 Methodik wird zur Modellierung von Zeitvariationen in Volatilitäten und anderen Momenten höherer Ordnung dargestellt, wobei ein rekursives Aktualisierungsschema ähnlich dem bekannten RiskMetrics-Ansatz verwendet wird. Wir aktualisieren Parameter mit dem Ergebnis der Prognoseverteilung. Dadurch kann sich die Parameterdynamik automatisch an beliebige nicht-normale Datenmerkmale anpassen und die nachfolgenden Schätzungen robustifizieren. Der neue Ansatz nistet einige der früheren Erweiterungen zum exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA) - Schema. Darüber hinaus kann es leicht auf höhere Dimensionen und alternative Prognoseverteilungen erweitert werden. Die Methode wird auf die Value-at-Risk-Prognose mit (verzerrten) Student-t-Verteilungen und einen zeitlich variierenden Freiheitsgrad und / oder Schiefeparameter angewendet. Wir zeigen, dass die neue Methode wettbewerbsfähiger oder besser ist als frühere Methoden zur Prognose der Volatilität einzelner Aktienrenditen und Wechselkursrenditen. Anzahl der Seiten im PDF-Format: 32 Stichwörter: Dynamische Volatilitäten Dynamische übergeordnete Momente Integrierte generalisierte autoregressive Score-Modelle Exponentiell gewichteter Moving Average (EWMA) Value-at-Risk (VaR) JEL Klassifizierung: C51, C52, C53, G15 Datum der Veröffentlichung: 26. Juli 2014 Zuletzt geändert am 10. September 2015 Vorgeschlagenes Citation Lucas, Andre und Zhang, Xin, Ergebnisorientierte exponentiell gewichtete Bewegungsdurchschnitte und Value-at-Risk-Prognose (19. August 2014). Tinbergen Institut Diskussionspapier Nr. 14-092 / IV / DSF77. Erhältlich bei SSRN: ssrn / abstract2470938 oder dx. doi. org/10.2139/ssrn.2470938 Kontaktdaten Andre Lucas (Kontaktperson) VU Universität Amsterdam - Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät (E-Mail) De Boelelaan 1105 Amsterdam, 1081 HV Niederlande 31 20 598 6039 (Telefon) 31 20 598 6020 (Fax)
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